线性代数的本质(七)——叉积

叉积的标准介绍

我们知道叉积的这个
在学习线性代数的时候,我们知道,两个向量做叉积运算会得出一个新的向量,新向量垂直于原两个向量所在的平面,而且新向量的长度是原两个向量所围成的面积大小。

$\vec{a} \times \vec{b} = \det \left( \begin{bmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{bmatrix} \right) = \det \left( \begin{bmatrix} \hat{i} & a_x & b_x \\ \hat{j} & a_y & b_y \\ \hat{k} & a_z & b_z \end{bmatrix} \right)$

$\left| \vec{a} \times \vec{b} \right| = |\vec{a}| \times |\vec{b}| \times \sin(\theta)$

$\theta$ 是两个向量 $\vec{a}$ 和向量 $\vec{b}$ 的夹角

由于这里涉及到了两个向量围成的面积,所以在前面讲到的行列式能在这里起到作用。

我们以上面这个图片为例,向量 $\vec{v}$ 和向量 $\vec{w}$ 做叉积得出向量的长度可以使用行列式来计算,由于这里只有两个向量,所以我们回到二维空间中进行计算,由于垂直于向量 $\vec{v}$ 和向量 $\vec{w}$ 所围成的平面有两个方向,可以使用行列式里面学过的 $\vec{v}$ 在 $\vec{w}$ 的左边还是右边来判断,如下面的式子。

$\det \left( \begin{bmatrix} v_1 & w_1 \\ v_2 & w_2 \end{bmatrix} \right) = -\det \left( \begin{bmatrix} w_1 & v_1 \\ w_2 & v_2 \end{bmatrix} \right)$

也可以直接在三维空间中使用左手右手定则来判断新向量指向的方向。跟前面行列式介绍的左右手定则基本一样。这里只列出右手定则

以线性变换的眼光看叉积

我们看到最上面的叉积的公式

$\vec{a} \times \vec{b} = \det \left( \begin{bmatrix} \hat{i} & a_x & b_x \\ \hat{j} & a_y & b_y \\ \hat{k} & a_z & b_z \end{bmatrix} \right) = \hat{i}(a_yb_z - a_zb_y) + \hat{j}(a_zb_x-a_xb_z) + \hat{k}(a_xb_y - a_yb_x)$

这个公式是怎么来的,为什么会把单位向量放到矩阵里面计算行列式,为什么向量叉积的结果是一个长度等于原来两个向量围成的面积?

我们知道,一个 $3 \times 3$ 矩阵的行列式的几何意义是空间六面体的体积,而上面行列式的出来的结果是一个向量,是由于我们把单位向量作为矩阵单元。我们首先将 $\vec{a} \times \vec{b}$ 转换成 $\vec{p} = \begin{bmatrix} p_x \\ p_y \\ p_z \end{bmatrix}$,然后上面的公式就改写成下面的样子。

$p_x\hat{i} + p_y\hat{j} + p_z\hat{k} = \det \left( \begin{bmatrix} \hat{i} & a_x & b_x \\ \hat{j} & a_y & b_y \\ \hat{k} & a_z & b_z \end{bmatrix} \right) = \hat{i}(a_yb_z - a_zb_y) + \hat{j}(a_zb_x-a_xb_z) + \hat{k}(a_xb_y - a_yb_x)$ (1)

再进行转化

$\begin{bmatrix} p_x \\ p_y \\ p_z \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \hat{i} \\ \hat{j} \\ \hat{k} \end{bmatrix} = \det \left( \begin{bmatrix} \hat{i} & a_x & b_x \\ \hat{j} & a_y & b_y \\ \hat{k} & a_z & b_z \end{bmatrix} \right)$ (2)

从上面(1)式可以看出,左右两边的单位向量 $\hat{i}$,$\hat{j}$,$\hat{k}$ 可以约掉,所以我们将 $\begin{bmatrix} \hat{i} \\ \hat{j} \\ \hat{k} \end{bmatrix}$ 用三维空间中的任意向量 $\begin{bmatrix} x \\y \\ z \end{bmatrix}$ 代替,最终得到了(3)

$\begin{bmatrix} p_x \\ p_y \\ p_z \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \det \left( \begin{bmatrix} x & a_x & b_x \\ y & a_y & b_y \\ z & a_z & b_z \end{bmatrix} \right)$ (3)

(3)我们可以得出下面的图像,其中橙色箭头表示向量 $\vec{a}$,粉色箭头表示向量 $\vec{b}$,红色箭头表示 $\vec{a} \times \vec{b}$,白色箭头表示三维空间中的任意向量 $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$

在上面(3)中我们我们知道等式右边就是图中平行六面体的体积,而平行六面体的体积等于底面积乘以高。这里的高就是向量投影到与底面垂直的直线后的长度。

上面(3)中左边则是向量 $\vec{p}$ 与 向量 $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$的点积,我们知道向量点积的几何意义就是向量 $\vec{v}$ 投影到 $\vec{w}$ 的投影长度乘以 $\vec{w}$ 的长度。上面说的平行六面体的计算跟这里向量 $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ 与垂直于底面且长度式底面积的向量 $\vec{a} \times \vec{b}$ 作点积是完全一致的。这就是为什么 $\vec{a} \times \vec{b}$ 是垂直于 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 所在的平面,且长度是 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 所围成的面积。

Last modification:May 20th, 2019 at 08:14 pm
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