线性代数的本质(五)——逆矩阵、列空间与零空间

我们知道,线性方程组可以改写成矩阵向量乘法的形式。

矩阵 $A$ 代表一个线性变换,求解 $A\vec{x} = \vec{v}$ 意味着我们去寻找一个向量 $\vec{x}$,使它在变换后与 $\vec{v}$ 重合,我们看一个在二维空间中的例子,$\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 \\ -1 \end{bmatrix}$。

在二位向量空间中,线性变换 $A$ 会有两种情况,一种是 $A$ 保持空间为二维,一种是 $A$ 将空间压缩为更低的维度,以上一节行列式中的内容来说,就是 $\det(A) = 0$ 与 $\det(A) \neq 0$ 的区别。

我们先来看看一般情况,即 $\det(A) \neq 0$。在这种情况下,有且仅有一个向量 $\vec{x}$ 在经过变换 $A$ 后与 $\vec{v}$ 重合。我们可以通过逆向变换来找到这个向量 $\vec{x}$,这里的逆向变换就是所谓的逆变换。我们用 $A^{-1}$ 来表示。$A$ 与 $A^{-1}$ 复合会得到一个什么也不做的矩阵,也就是单位矩阵(由基向量组成的矩阵)。

这个也同样适用于更高维的空间,只要变换的行列式不为零,那就一定有一个唯一的 $\vec{x}$,使得 $\vec{v}$ 做逆变换后与 $\vec{x}$ 重合。

现在考虑第二种情况,就是变换 $A$ 将空间压缩到更低的维度,即 $\det(A) = 0$,这种情况下,$A$ 不存在逆变换,因为你不能将一条直线“解压缩为一个平面“。

不过即使 $\det(A) = 0$,解也有可能存在,如果 $\vec{v}$ 刚好在压缩后的直线上。

在前面我们使用行列式等不等于零来判断向量空间是否被压缩,那怎么描述这个压缩的程度呢,我们引入一个新的术语——秩。如果一个变换将空间压缩成一个直线,那么这个变换的秩为1,如果变换后的向量落在二维空间中,那么这个变换的秩为2。所以秩指的的是变换后空间的维数,比如 $2 \times 2$ 矩阵最大的秩是2,$3 \times 3$ 矩阵最大的秩是3,一个变换的列所张成的空间就是这个变换的列空间,也就是向量空间,所以秩更精确的定义是列空间的维数。当秩为最大值时,即秩等于矩阵的列数,我们称这个矩阵满秩。

对于一个满秩的矩阵来说,唯一一个能在变换后落在原点的只有零向量,但是对于非满秩的矩阵,由于空间被压缩了,可能会有一系列的向量在变换后变成零向量。

三维空间被压缩到二维平面,也有一整条直线上的向量被压缩到原点上。

三维空间被压缩到直线,那会有一整个平面上的向量被压缩到原点上。

在上面提到的,在变换后落在原点的向量集合,被称为矩阵的“零空间”或“核”。回到一开始讲到的问题,在 $\det(A) = 0$ 的情况下,只有当 $\vec{v}$ 为零向量时,线性方程组才有解,而这里提到的“零空间”就是这个线性方程组的解集。

Last modification:May 20th, 2019 at 08:11 pm
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