线性代数的本质(二)——线性组合、张成空间和基

在讨论向量的时候,我们可以知道一个二维向量的两个分量代表一个箭头的终点坐标。但是我们还有一种更有趣的方式来看这些分量。

先看下面这个向量

在xy坐标系中,有两个非常特殊的向量,分别就是在x轴正方向上的单位向量 $\hat{i}$ 和在y轴正方向上的单位向量 $\hat{j}$ ,我们称这些特殊的向量为基向量。

这样一来,我们可以认为一个向量就是由这个向量的分量分别乘以基向量再相加的结果,也就是所谓的缩放向量再相加。

上面这里就是使用到了向量的两个基本运算,向量数乘和向量加法。然后我们可以扩展一下,如果我们选择两个新向量,然后将这两个新向量作为我们的基向量。然后使用这两个基向量来尝试表示其他向量。

结果是,我们能通过这两个向量来表示其他任何的向量。当然,使用 $\vec{v}$ 和 $\vec{w}$ 作为基向量和使用 $\hat{i}$ 和 $\hat{j}$ 作为基向量表示同一个向量是不同的。所以向量是依赖于基向量的,如果基向量不同,那同一个向量的各个分量也不会相同。

线性组合和张成空间

两个数乘向量的和就是这两个向量的线性组合,从上面给的动图中我们可以直观的看出,$\vec{v}$和$\vec{w}$的所有线性组合,就是这个二维空间中的所有二维向量。这里$\vec{v}$和$\vec{w}$的张成空间就是这两个向量的所有线性组合的集合,也就是整个二维空间中的所有向量。如果把向量看作点,那$\vec{v}$和$\vec{w}$的张成空间就是一个平面。

在二维空间中,两个二维向量的张成空间可能有三种情况,第一种就是上面图片中的一个平面。
第二种情况是:如果两个向量共线,那么这两个向量的张成空间就是一条直线

第三种情况就是如果,两个向量本身就是零向量,那么这两个零向量的张成空间就是一个点。

扩展到三维空间中,两个三维向量的张成空间可能是三维空间中的一张平面,一条线或一个点。

现在假设有两个三维向量的张成空间是三维空间中的一个平面,我们添加一个向量,如果这个向量刚好落在这个平面中,那这三个向量的张成空间还是一个平面。

上面图中引入第三个向量并没有让我们的张成空间发生改变,因为新添加的向量已经处于原来的张成空间中。也就是说,如果我们添加属于已有向量的张成空间中的向量,那么这些向量的张成空间并没有改变。只有当新向量不存在于原来的张成空间中,新的张成空间才会扩展。

对于上面这些,第三个向量落在前两个向量的张成空间,或者一个向量与另一个向量共线,一组向量中至少有一个向量是多余的,它对张成空间没有贡献。我们称这组向量是线性相关的,即其中存在一个向量可由其余向量的线性组合来表示。

如果一组向量中的每一个向量都为张成空间添加了维度,那么这些向量就是线性无关的。

总结

最后,我们来看看基的严格定义,向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关向量集。回顾一下这篇文章讲的内容,思考一下为什么这个定义是合乎情理的。

Last modification:May 20th, 2019 at 08:08 pm
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