线性代数的本质(一)——什么是向量

向量的几何理解

我们所熟知的向量的样子是下面这样的

$\vec{v}= \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$

直观的几何理解是这个向量$\vec{v}$是从原点指向坐标为(-2, 3)的箭头,如下图

这里向量的两个分量能够告诉我们如何从原点出发找到这样一个箭头,这里第一个分量告诉我们先沿着x轴正方向移动-2个单位,第二个分量告诉我们沿着y轴正方向移动3个单位。

从上面的定义,我们可以知道,在二维平面中,每一对数能够对应一个唯一的向量,同时一个向量对应一个唯一的一对数。

同样的,在三维空间中,一个向量由一个三元组决定,三个数分别对应向量在x轴,y轴,z轴上的移动距离。

一个二元组可以得到一个二维空间中的向量,一个三元组可以得到一个三维空间中的向量,所以,一个向量的维数就是代表该向量所处的空间的维数,也就是一个向量分量的个数。

向量的基本运算

向量加法

我们所学的向量加法是这样的

$\begin{bmatrix} a_1 \\ b_1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a_2 \\b_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 + a_2 \\ b_1 + b_2 \end{bmatrix}$

如果我们把向量理解成一种特定的运动,那这里的向量加法就变成了从原点出发沿着$\vec{v}$的方向运动$\vec{v}$的长,然后我们再沿着$\vec{w}$的方向运动$\vec{w}$的长。最终的结果跟从原点出发沿着$\vec{v} + \vec{w}$运动的效果一样。

我们可以将运动分解一下

这里最终的结果就是先沿着x轴正方向运动1+3个单位,然后沿着y轴正方向运动2-1个单位。这样的一个运动也就形成了一个新的向量$\begin{bmatrix} 3+1 \\ 2 - 1\end{bmatrix}$,这就是关于向量的直观几何理解。

向量数乘

公式如下
$2 \times \begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2a\\ 2b \end{bmatrix}$
我们可以把向量数乘理解成对向量的缩放,下面有三个具体的例子

将向量放大成原来的两倍

将向量缩小成原来的$\frac{1}{3}$

将向量反向,然后再放大成原来的1.8倍。

对于一个向量来说,将其放大成两倍,相当于对这个向量的每一个分量都放大两倍。

总结

其实最后,我们不能将向量死板的只理解成一个固定的东西,就像我们不能将数字3死板地只理解成3个特定的物体。在需要的时候,我们可将向量看待成任何东西。

Last modification:May 20th, 2019 at 08:08 pm
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