我们现在重新看第一节一个看似简单的问题：“向量是什么”？以二维向量为例，它是一个箭头，为了方便我们使用坐标来描述它？或者它是本身就是一个实数对，我们只是将它形象理解成空间的一个箭头？还是说这两种观点只是抽象事物的体现？ 从某种意义上讲，函数实际上就是另一种向量。类比两个向量的加法，我们也可以将两个函数 $f$ 和 $g$ 相加从而获得一个新的函数 $(f + g)$ 类似的，函数的数乘跟...
首先让我们来考虑下面这个变换 我们关注这个变换对一个特定向量的作用 可以看出，这个变换使向量脱离了它本身张成的空间（一条直线），除了这个向量以外，这个二维向量空间中的绝大部分向量在变换后也会脱离它原来张成的空间。不过对于这个变换来说，仍然有一些特殊的向量会留在向量本身张成的空间中，这个变换只是对这些特殊的向量进行了缩放而已。 这个 $\begin{bmatrix} 3 & 1 ...
我们来看在二维空间中的这个向量 我们用 $\begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}$ 来描述这个向量的坐标。这里用的坐标系是最原始的坐标，由 $\hat{i}$ 和 $\hat{j}$ 两个基向量决定，如果现在我们换一个坐标系，那如何表示这个向量呢。 这个新坐标系中的 $\vec{b_1}$ 和 $\vec{b_2}$ 对应于原来坐标系中的 $\begin...
叉积的标准介绍 我们知道叉积的这个 在学习线性代数的时候，我们知道，两个向量做叉积运算会得出一个新的向量，新向量垂直于原两个向量所在的平面，而且新向量的长度是原两个向量所围成的面积大小。 $\vec{a} \times \vec{b} = \det \left( \begin{bmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_x &...
在学习线性代数的时候，通常在学完了向量的基本运算后就开始学习点积了， 但是为了能够正确理解点积的意义。我们在理解线性变换后使用线性变换的思想来重新理解点积。 点积的运算 如果我们有两个维数相同的向量，那这两个向量的点积就是相对应的坐标分量相乘再相加。 $\begin{bmatrix} a_1 \\ b_1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_2 \\...
我们知道，线性方程组可以改写成矩阵向量乘法的形式。 矩阵 $A$ 代表一个线性变换，求解 $A\vec{x} = \vec{v}$ 意味着我们去寻找一个向量 $\vec{x}$，使它在变换后与 $\vec{v}$ 重合，我们看一个在二维空间中的例子，$\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x...
行列式与空间缩放 我们刚开始学习线性代数的时候，往往都是从行列式的计算开始的。在学习了矩阵和线性变换的内容后，我们就可以非常方便地理解行列式的意义。我们使用 $det$ 来表示一个矩阵的行列式。让我们先来看看行列式的公式，我们假设有一个 $2 \times 2$ 的矩阵。 $det \left( \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bma...
线性变换 有了前两篇文章的基础，我们现在可以开始理解线性变换和矩阵的意义了。首先，我们可以把变换理解成函数，我们输入一个向量，然后这个变换对应有一个输出向量。这里之所以用“变换”这个词，是因为从向量的理解角度来说，这里像是一种向量的运动，我们看看直观的动图。 我们可以将这种变换理解成对整个空间的变换，这个变换将会对空间中的所有向量生效 线性变换的定义如下 在一个线性空间T中变换A是线性...
基 在讨论向量的时候，我们可以知道一个二维向量的两个分量代表一个箭头的终点坐标。但是我们还有一种更有趣的方式来看这些分量。 先看下面这个向量 在xy坐标系中，有两个非常特殊的向量，分别就是在x轴正方向上的单位向量 $\hat{i}$ 和在y轴正方向上的单位向量 $\hat{j}$ ，我们称这些特殊的向量为基向量。 这样一来，我们可以认为一个向量就是由这个向量的分量分别乘以基向量再相加的结...
向量的几何理解 我们所熟知的向量的样子是下面这样的 $\vec{v}= \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ 直观的几何理解是这个向量$\vec{v}$是从原点指向坐标为(-2, 3)的箭头，如下图 这里向量的两个分量能够告诉我们如何从原点出发找到这样一个箭头，这里第一个分量告诉我们先沿着x轴正方向移动-2个单位，第二个分量告诉我们沿着y轴正方向移...